Para finalizar este largo Curso, veremos algunas aplicaciones de las rectas en un plano a situaciones de diversos tipos.

1. Un vendedor de telas a domicilio percibe un cierto sueldo base y, adicional a ello, recibe $200 por cada metro de tela que vende. Si en un mes vendió 600 metros de tela, el vendedor recibe $320.000:

a) Determine cuál es la pendiente de la recta asociada al problema.

b) Determine cuál es la ecuación de la recta asociada al problema.

c) Determine cuántos metros de tela debiera vender para ganar $360.000.

Solución:

a) Primero debemos fijarnos en qué variable depende de cuál. En este caso, vemos que el sueldo mensual del vendedor DEPENDE DE la cantidad de metros de tela que venda; luego, la variable "x" será la cantidad de metros de tela vendidos y la variable "y" será el sueldo mensual del vendedor.

A continuación, vemos que por cada metro de tela (x) el vendedor gana $200; luego, la pendiente de esta recta será m = 200/1 = 200. Con esto, vemos que la ecuación de la recta será de la forma:

y = 200x + n

b) Luego, vemos que por 600 metros de tela, el vendedor ganó $320.000; esto significa que el punto (600 ; 320.000) pertenece a la recta.

Con ello, se obtiene:

320.000 = 200(600) + n ==> 320.000 = 120.000 + n ==> 200.000 = n

Por lo tanto, la ecuación de la recta será:

y = 200x + 200.000

c) Finalmente, queremos saber cuántos metros de tela debe vender para ganar $360.000; es decir, buscamos la abscisa del punto (x ; 360.000).

Con ello, se obtiene:

360.000 = 200x + 200.000 ==> 360.000 - 200.000 = 200x ==> (160.000 / 200) = x ==> 800 = x □.

Es decir, el vendedor debe vender 800 metros de tela si quiere ganar $360.000 al mes.

2. Determinar una ecuación lineal que relacione los grados Celsius con los grados Fahrenheit, sabiendo que el agua (a nivel del mar) se congela a 32℉ y ebulle (hierve) a 212℉

Solución:

En primer lugar, queremos determinar los grados Fahrenheit (y) EN FUNCIÓN DE los grados Celsius (x). Con algunos conocimientos de Física, vemos que el agua se congela a 0℃ y ebulle a 100℃; esto quiere decir que los puntos (0,32) y (100,212) pertenecen a nuestra recta.

Entonces, procedemos a calcular la pendiente de nuestra recta:

m = (212-32) / (100-0) = 180/100 = 9/5

Como el punto (0,32) pertenece a nuestra recta, se obtiene:

32 = (9/5)0 + n ==> 32 = 0 + n ==> 32 = n

Por lo tanto, la ecuación de la recta será:

y = (9/5)x + 32

3. Encontrar la ecuación de la recta que corta al eje de las abscisas 5 unidades a la derecha del origen, y al eje de las ordenadas 3 unidades hacia arriba del origen.

Solución:

En primer lugar, del enunciado podemos deducir que los puntos (5,0) y (0,3) pertenecen a nuestra recta. Con ello, procedemos a calcular la pendiente de nuestra recta:

m = (3-0) / (0-5) = 3/(-5) = -3/5

Como el punto (5,0) pertenece a nuestra recta, se obtiene:

0 = (-3/5)5 + n ==> 0 = -3 + n ==> 3 = n

Por lo tanto, la ecuación de la recta será:

y = (-3/5)x + 3