free portfolio site templates

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

En esta sección se redefinirán las Razones Trigonométricas, que ahora se podrán calcular para cualquier valor real de ángulo. Se obtendrán Fórmulas de Reducción, que permiten calcular todo a partir de los valores de las Razones para ángulos del Primer Cuadrante, que ya conocemos. Todo esto nos llevará a definir nuestras Razones más adelante como Funciones Trigonométricas. Luego se mostrarán Ejemplos de Aplicación a situaciones problemáticas. Finalmente, se propone la Regla del Burro, una divertida forma de recordar las Fórmulas de Reducción.

1. Circunferencia Unitaria

Llamaremos Circunferencia Unitaria, Trigonométrica o Goniométrica, a una circunferencia de radio 1 y con centro en el origen de un plano cartesiano.

Sobre esta circunferencia, seleccionamos un punto P(x,y) en el primer cuadrante. Considerando el origen O, el punto P y un tercer punto Q(x,0), podemos formar el ΔOQP, rectángulo en Q tal que el ángulo en el origen sea θ.

Mobirise
Rápidamente podemos ver que la medida de la hipotenusa corresponde al radio de la circunferencia, mientras que las medidas de los catetos serán:


Hipotenusa:             m(OP) = 1
Cateto adyacente: m(OQ) = x
Cateto opuesto:      m(QP) = y

Veamos lo que ocurre con las razones trigonométricas para este tríangulo rectángulo:

sen(θ) = y/1 = y
cos(θ) = x/1 = x
tan(θ) = y/x

       Es decir, dado un punto P(x,y) de la circunferencia unitaria, siempre se tendrá x = cosθ , y = senθ .
      Por ejemplo, para el punto P(1/2 , √3/2) se tendrá cosθ = 1/2 , senθ = √3/2 (a propósito, para este punto se tendrá θ = π/3 ).
      Con esta nueva definición, podemos hablar de las Razones Trigonométricas para cualquier ángulo desde 0 hasta 2π. A continuación, analizaremos cómo obtener más rápidamente el valor de las Razones Trigonométricas; sin embargo, primero veremos algunos valores ilustres que deberás recordar.

θ = 0
     
cos(0) = 1 = x
sen(0) = 0 = y

Entonces, θ = 0 corresponde al punto P(1,0) .

Mobirise
Mobirise

θ = π/2 

cos(π/2) = 0 = x
sen(π/2) = 1 = y

Entonces, θ = π/2 corresponde al punto P(0,1) .

θ = π
     
cos(π) = -1 = x
sen(π) = 0 = y

Entonces, θ = π corresponde al punto P(-1,0) .

Mobirise
Mobirise

θ = 3π/2 

cos(3π/2) = 0 = x
sen(3π/2) = -1 = y

Entonces, θ = 3π/2 corresponde al punto P(0,-1) .

θ = 2π

cos(2π) = 1 = x
sen(2π) = 0 = y

Entonces, θ = 2π corresponde al punto P(1,0) (igual que θ = 0).

Mobirise

2. Fórmulas de Reducción

La idea central en adelante será que cualquier valor de ángulo puede ser escrito en términos de algún valor de ángulo en el Primer Cuadrante (0 < α < π/2).
Por ejemplo, veamos el caso de cos(2π/3) (120°, segundo cuadrante). Podemos escribir este ángulo de dos formas:

2π/3 = (π/2) + (π/6)
(120° = 90° + 30°)


cos(2π/3) = cos((π/2) + (π/6))
                    = cos(π/2)cos(π/6) -
                         sen(π/2) sen(π/6)
                    = 0 x cos(π/6) -
                         1 x sen(π/6)
                    = -sen(π/6)
                    = -1/2 .//

Mobirise
Mobirise

2π/3 = (π) - (π/3)
(120° = 180° - 60°) 

cos(2π/3) = cos(π - (π/3))
                    = cos(π)cos(π/3) -
                          sen(π) sen(π/3)
                    = -1 x cos(π/3) -
                          0 x sen(π/3)
                    = -cos(π/3)
                    = -1/2 .//

En general, para cualquier ángulo del Segundo Cuadrante (π/2 < θ < π) se tendrá:

Si θ = π/2 + α :

cos(θ) = -sen(α)
sen(θ) = cos(α)

Si θ = π - β :

cos(θ) = -cos(β) 
sen(θ) = sen(β)

En general, para cualquier ángulo del Tercer Cuadrante (π < θ < 3π/2) se tendrá:

Si θ = π + α :

cos(θ) = -cos(α)
sen(θ) = -sen(α)

Si θ = 3π/2 - β :

cos(θ) = -sen(β) 
sen(θ) = -cos(β)

En general, para cualquier ángulo del Cuarto Cuadrante (3π/2 < θ < 2π) se tendrá:

Si θ = 3π/2 + α :

cos(θ) = sen(α)
sen(θ) = -cos(α)

Si θ = 2π - β :

cos(θ) = cos(β) 
sen(θ) = -sen(β)

3. Ejemplos de Aplicación

En este apartado, revisaremos algunos ejemplos resueltos para que puedas ver cómo utilizar las Fórmulas de Reducción. Luego, será tu turno.

Ejemplo 1: Determinar senθ, cosθ para θ = 7π/6 (210°)

Solución: 7π/6 = π + π/6
      --> sen(7π/6) = sen(π + π/6)
                                 = sen(π) cos(π/6) + cos(π) sen(π/6)
                                 = -sen(π/6)
                                 = -1/2
Análogamente, cos(7π/6) = √3/2 .//

Ejemplo 2: Determinar el valor de la expresión:

E = 2√3 cos(150°) + √3 cot(210°) + 6√3 sen(300°)

Solución: Usando Fórmulas de Reducción, se obtiene:
* cos(150°) = -cos(30°) = -√3/2
* cot(210°) = cos(210°) / sen(210°)
                     = -cos(30°) / -sen(30°)
                     = -cot(30°)
                     = -√3
*sen(300°) = -sen(60°) = -√3/2

Con ello, E = 2√3 x (-√3/2) + √3 x (-√3) + 6√3 x (-√3/2)
                     = (-3) + (-3) + (-9)  =  -15 .//

Ejemplo 3: Si senα = 15/17 (π/2 < α < π) y senβ = -5/13 (π < β < 3π/2), calcular:
a) sen(α+β)       b) sen(α-β)       c) cos(α+β)       d) cos(α-β)


Solución: Como π/2 < α < π , entonces cosα<0. Como π < β < 3π/2 , entonces cosβ<0.
      Luego, de la Identidad Pitagórica se tiene:
cosα = -√(1-sen2α) = -√(1-(15/17)2 ) = -√(1 - 225/289)
          = -(√(289-225))/17 = -(√64)/17 = -8/17 .//

cosβ = -√(1-sen2β) = -√(1-(-5/13)2 ) = -√(1 - 25/169)
          = -(√(169-25))/13 = -(√144)/13 = -12/13 .//

Luego, se obtienen los valores pedidos:
a) sen(α+β) = (15/17) x (-12/13) + (-8/17) x (-5/13)
                      = (-180 + 40) / (17x13)
                      = -140/221 .//

b) sen(α-β) = (15/17) x (-12/13) - (-8/17) x (-5/13)
                      = (-180 - 40) / (17x13)
                      = -220/221 .//

c) cos(α+β) = (-8/17) x (-12/13) - (15/17) x (-5/13)
                      = (96 + 75) / (17x13)
                      = 171/221 .//

d) cos(α-β) = (-8/17) x (-12/13) + (15/17) x (-5/13)
                      = (96 - 75) / (17x13)
                      = 21/221 .//

4. Ejercicios Propuestos

Ahora sí, es momento de que pongas en práctica lo que has aprendido. ¡Que tengas un buen trabajo!

  1. Determinar senθ, cosθ para los siguientes ángulos
    a) θ = 3π/5 (108°)
    b) θ = 6π/5 (216°)
    a) θ = 9π/5 (324°)
    a) θ = 12π/5 (432°)
  2. Si senα = -4/5 (3π/2 < α < 2π) y cosβ = -5/13 (π/2 < β < π), calcular:
    a) sen(α+β)
    b) sen(α-β)
    c) cos(α+β)
    d) cos(α-β)
  3. Determine Fórmulas de Reducción para θ = 2π + α (1 vuelta) y para θ = 0 - α (ángulos negativos).

5. La Regla del Burro

Como lo prometido es deuda, aquí te dejamos esta divertida forma de recordar las Fórmulas de Reducción (y de paso no sufrir para encontrar su valor). Para ello, haz clic en el video.
¡Disfruta y aprende!