En esta sección se redefinirán las Razones Trigonométricas, que ahora se podrán calcular para cualquier valor real de ángulo. Se obtendrán Fórmulas de Reducción, que permiten calcular todo a partir de los valores de las Razones para ángulos del Primer Cuadrante, que ya conocemos. Todo esto nos llevará a definir nuestras Razones más adelante como Funciones Trigonométricas. Luego se mostrarán Ejemplos de Aplicación a situaciones problemáticas. Finalmente, se propone la Regla del Burro, una divertida forma de recordar las Fórmulas de Reducción.
Sobre esta circunferencia, seleccionamos un punto P(x,y) en el primer cuadrante. Considerando el origen O, el punto P y un tercer punto Q(x,0), podemos formar el ΔOQP, rectángulo en Q tal que el ángulo en el origen sea θ.
Hipotenusa: m(OP) = 1
Cateto adyacente: m(OQ) = x
Cateto opuesto: m(QP) = y
sen(θ) = y/1 = y
cos(θ) = x/1 = x
tan(θ) = y/x
Es decir, dado un punto P(x,y) de la circunferencia unitaria, siempre se tendrá x = cosθ , y = senθ .
Por ejemplo, para el punto P(1/2 , √3/2) se tendrá cosθ = 1/2 , senθ = √3/2 (a propósito, para este punto se tendrá θ = π/3 ).
Con esta nueva definición, podemos hablar de las Razones Trigonométricas para cualquier ángulo desde 0 hasta 2π. A continuación, analizaremos cómo obtener más rápidamente el valor de las Razones Trigonométricas; sin embargo, primero veremos algunos valores ilustres que deberás recordar.
θ = 0
cos(0) = 1 = x
sen(0) = 0 = y
Entonces, θ = 0 corresponde al punto P(1,0) .
θ = π/2
cos(π/2) = 0 = x
sen(π/2) = 1 = y
Entonces, θ = π/2 corresponde al punto P(0,1) .
θ = π
cos(π) = -1 = x
sen(π) = 0 = y
Entonces, θ = π corresponde al punto P(-1,0) .
θ = 3π/2
cos(3π/2) = 0 = x
sen(3π/2) = -1 = y
Entonces, θ = 3π/2 corresponde al punto P(0,-1) .
θ = 2π
cos(2π) = 1 = x
sen(2π) = 0 = y
Entonces, θ = 2π corresponde al punto P(1,0) (igual que θ = 0).
2π/3 = (π/2) + (π/6)
(120° = 90° + 30°)
cos(2π/3) = cos((π/2) + (π/6))
= cos(π/2)cos(π/6) -
sen(π/2) sen(π/6)
= 0 x cos(π/6) -
1 x sen(π/6)
= -sen(π/6)
= -1/2 .//
2π/3 = (π) - (π/3)
(120° = 180° - 60°)
cos(2π/3) = cos(π - (π/3))
= cos(π)cos(π/3) -
sen(π) sen(π/3)
= -1 x cos(π/3) -
0 x sen(π/3)
= -cos(π/3)
= -1/2 .//
En general, para cualquier ángulo del Segundo Cuadrante (π/2 < θ < π) se tendrá:
Si θ = π - β :
cos(θ) = -cos(β)
sen(θ) = sen(β)
En general, para cualquier ángulo del Tercer Cuadrante (π < θ < 3π/2) se tendrá:
Si θ = 3π/2 - β :
cos(θ) = -sen(β)
sen(θ) = -cos(β)
En general, para cualquier ángulo del Cuarto Cuadrante (3π/2 < θ < 2π) se tendrá:
Si θ = 2π - β :
cos(θ) = cos(β)
sen(θ) = -sen(β)
Ejemplo 1: Determinar senθ, cosθ para θ = 7π/6 (210°)
Solución: 7π/6 = π + π/6
--> sen(7π/6) = sen(π + π/6)
= sen(π) cos(π/6) + cos(π) sen(π/6)
= -sen(π/6)
= -1/2
Análogamente, cos(7π/6) = √3/2 .//
Ejemplo 2: Determinar el valor de la expresión:
E = 2√3 cos(150°) + √3 cot(210°) + 6√3 sen(300°)
Solución: Usando Fórmulas de Reducción, se obtiene:
* cos(150°) = -cos(30°) = -√3/2
* cot(210°) = cos(210°) / sen(210°)
= -cos(30°) / -sen(30°)
= -cot(30°)
= -√3
*sen(300°) = -sen(60°) = -√3/2
Con ello, E = 2√3 x (-√3/2) + √3 x (-√3) + 6√3 x (-√3/2)
= (-3) + (-3) + (-9) = -15 .//
Ejemplo 3: Si senα = 15/17 (π/2 < α < π) y senβ = -5/13 (π < β < 3π/2), calcular:
a) sen(α+β) b) sen(α-β) c) cos(α+β) d) cos(α-β)
Solución: Como π/2 < α < π , entonces cosα<0. Como π < β < 3π/2 , entonces cosβ<0.
Luego, de la Identidad Pitagórica se tiene:
cosα = -√(1-sen2α) = -√(1-(15/17)2 ) = -√(1 - 225/289)
= -(√(289-225))/17 = -(√64)/17 = -8/17 .//
cosβ = -√(1-sen2β) = -√(1-(-5/13)2 ) = -√(1 - 25/169)
= -(√(169-25))/13 = -(√144)/13 = -12/13 .//
Luego, se obtienen los valores pedidos:
a) sen(α+β) = (15/17) x (-12/13) + (-8/17) x (-5/13)
= (-180 + 40) / (17x13)
= -140/221 .//
b) sen(α-β) = (15/17) x (-12/13) - (-8/17) x (-5/13)
= (-180 - 40) / (17x13)
= -220/221 .//
c) cos(α+β) = (-8/17) x (-12/13) - (15/17) x (-5/13)
= (96 + 75) / (17x13)
= 171/221 .//
d) cos(α-β) = (-8/17) x (-12/13) + (15/17) x (-5/13)
= (96 - 75) / (17x13)
= 21/221 .//
Como lo prometido es deuda, aquí te dejamos esta divertida forma de recordar las Fórmulas de Reducción (y de paso no sufrir para encontrar su valor). Para ello, haz clic en el video.
¡Disfruta y aprende!